Algebra: Geeignet Zum Selbststudium Oder Für Online-Vorlesungen

ISBN-13: 9783662637777 / Niemiecki / Miękka / 2021 / 330 str.

Marco Hien

Recenzje

"... Das Lehrwerk vermittelt die Grundlagen der Algebra unter besonderer Berücksichtigung und Darstellung der logischen Entwicklung der Fragestellungen und Inhalte und ist der Zielgruppe auch etwa neben den umfassenderen und zugleich auf weiterführenden Vorlesungen der Algebra vorbereitenden Standardwerken von Christian Karpfinger: "Algebra" (zuletzt ID-G 42/17) oder Siegfried Bosch: "Algebra" (zuletzt ID-G 50/03) dienlich." (Philipp Kastendieck, in: ekz-Informationsdienst, Heft 1, 2022)

Spis treści

Inhaltsverzeichnis

1 Motivation und Voraussetzungen

1.1 Ziele

1.2 Voraussetzungen

2 Körpererweiterungen und algebraische Elemente

2.1 Körpererweiterungen

2.2 Zwischenkörper und algebraische Elemente

Aufgaben

3 Gruppen

3.1 Allgemeine Definition und Folgerungen

3.2 Untergruppen und Gruppenhomomorphismen

Aufgaben

4 Gruppenquotienten und Normalteiler

4.1 Äquivalenzrelationen

4.2 Gruppenquotienten

4.3 Der Satz von Lagrange

4.4 Normalteiler und Faktorgruppen

4.5 Der Homomorphiesatz für Gruppen

4.6 Endliche zyklische Gruppen

Aufgaben

5 Ringe und Ideale

5.1 Kommutative Ringe mit Eins

5.2 Ringhomomorphismen

5.3 Einheiten und Nullteiler

5.4 Ideale, Faktorringe und der Homomorphiesatz

5.5 Primideale und maximale Ideale

5.6 Der chinesische Restsatz

5.7 Beispiele von Ringen in quadratischen Zahlkörpern

Aufgaben

6 Euklidische Ringe, Hauptidealringe, Noethersche Ringe

6.1 Euklidische Ringe

6.2 Der euklidische Algorithmus

6.3 Noethersche Ringe

Aufgaben

7 Faktorielle Ringe

7.1 Primelemente und irreduzible Elemente, faktorielle Ringe

7.2 Eigenschaften

Aufgaben

8 Quotientenkörper für Integritätsbereiche

Aufgaben

9 Irreduzible Polynome in faktoriellen Ringen

9.1 Inhalt von Polynomen

9.2 Reduktion modulo Primelement

9.3 Das Gauß Lemma

9.4 Anwendung der Reduktion mod ? und Satz von Gauß

Aufgaben 

10 Galoistheorie (I) – Satz A und seine Variante A’

10.1 Die wundersame Körperschaffung

10.2 Der Zerfällungskörper

10.3 Der Satz A und A’

10.4 Anwendung im Körperturm 

10.5 Die Galoisgruppe

Aufgaben

11 Intermezzo – explizites Beispiel ^5 ���� 777^ ¸ 7

Aufgaben

12 Normale Körpererweiterungen

12.1 Algebraischer Abschluss

12.2 Fortsetzung von Körperhomomorphismen

12.3 Normale Erweiterungen

Aufgaben

13 Separabilität 

13.1 Motivation und Definition

13.2 Formale Ableitung

13.3 Charakteristik eines Körpers und Separabilität

13.4 Der Separabilitätsgrad

13.5 Der Satz vom primitiven Element

Aufgaben

14 Galoistheorie (II) – der Hauptsatz

14.1 Der Hauptsatz – Statement

14.2 Ausblick auf eine Anwendung – Mitternachtsformel für alle Grade?

14.3 Beweis des Hauptsatzes

14.4 Beweis des Zusatzes

Aufgaben

15 Kreisteilungskörper

15.1 Einheitswurzeln

15.2 Kreisteilungskörper und -polynome

Aufgaben 

16 Endliche Körper

16.1 Primkörper, endliche Körper und der Frobenius

16.2 Endliche Körper

Aufgaben

17 Mehr Gruppentheorie – Gruppenoperationen und Sylow

17.1 Gruppenoperationen

17.2 Die Sylowsätze

17.3 Anwendungen der Sylowsätze und übliche Tricks

17.4 Beweis der Sylowsätze

Aufgaben

18 Auflösbarkeit von Polynomgleichungen

18.1 Auflösbare Gruppen

18.2 Auflösung von Polynomgleichungen durch Radikale

18.3 Die allgemeine Gleichung =-ten Grades

Aufgaben

A Beweis der Existenz eines algebraischen Abschlusses 

B Tricks und Methoden, um Gruppen einer vorgegebenen Ordnung zu klassifizieren

B.1 Standardargumente und Beispiele

B.2 Explizite Beispiele

Sachverzeichnis

O autorze

Prof. ​Dr. Marco Hien war nach einem Postdoc-Jahr an der University of Chicago zunächst an der Universität Regensburg tätig. Seit 2010 ist er Professor für Algebra und Zahlentheorie an der Universität Augsburg mit den Forschungsgebieten Algebraische Geometrie und algebraische Analysis. 2020 erhielt er den "Preis für gute Lehre“ des Wissenschaftsministeriums Bayern. 

Blurb

Dieses Buch beinhaltet die Grundlagen der Algebra. 

Neben den elementaren algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper wird insbesondere die Galoistheorie zusammen mit ihren Anwendungen auf die Kreisteilungskörper, die endlichen Körper oder die Frage nach der Auflösung von Polynomgleichungen entwickelt.

Besonderes Augenmerk wird dabei auf die natürliche Entwicklung der Inhalte gelegt. Zahlreiche Zwischenerklärungen unterstützen diese Grundidee, zeigen Verbindungen auf und helfen, die zu Grunde liegenden Konzepte besser zu durchdringen. 

Das Buch eignet sich deshalb im Besonderen, die Algebra im Selbststudium oder begleitend zu Online-Vorlesungen zu erlernen.

Der Autor: ​

Prof. Dr. Marco Hien war nach einem Postdoc-Jahr an der University of Chicago zunächst an der Universität Regensburg tätig. Seit 2010 ist er Professor für Algebra und Zahlentheorie an der Universität Augsburg mit den Forschungsgebieten Algebraische Geometrie und algebraische Analysis. 2020 erhielt er den "Preis für gute Lehre“ des Wissenschaftsministeriums Bayern.