Prüfungstrainer Analysis: Mehr ALS 1000 Fragen Und Antworten Für Bachelor Mathematik Und Physik, Auch Bestens Geeignet Für Lehramtsstudierende

ISBN-13: 9783662550199 / Niemiecki / Miękka / 2018 / 547 str.

Rolf Busam; Thomas Epp

Spis treści

Vorwort

1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen 1.1 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen 1.2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 1.3 Die ganzen und rationalen Zahlen 1.4 Der Körper der komplexen Zahlen 1.5 Die Standardvektorräume Rn und Cn 1.6 Einige wichtige Ungleichungen

2 Folgen reeller und komplexer Zahlen 2.1 Definitionen, Beispiele, grundlegende Feststellungen 2.2 Permanenzeigenschaften (Rechenregeln) für konvergente Folgen 2.3 Prinzipien der Konvergenztheorie

3 (Unendliche) Reihen 3.1 Definitionen und erste Beispiele 3.2 Konvergenzkriterien für reelle Reihen 3.3 Reihen mit beliebigen Gliedern - absolute Konvergenz 3.4 Umordnung von Reihen, Reihenprodukte 3.5 Elementares über Potenzreihen 3.6 Der große Umordnungssatz

4 Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen 4.1 Grundbegriffe 4.2 Stetigkeit 4.3 Grenzwerte bei Funktionen

5 Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen 5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 5.2 Potenzreihen

6 Elementare (transzendente) Funktionen 6.1 Die komplexe Exponentialfunktion 6.2 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 6.3 Natürlicher Loagrithmus und allgemeine Potenzen 6.4 Die Umkehrfunktionen der der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

7 Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung 7.1 Das Integral für Treppenfunktionen und Regelfunktionen 7.2 Grundlagen der Differenzialrechnung 7.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 7.4 Integrationstechniken

8 Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung 8.1 Taylor'sche Formel und Taylorreihen 8.2 Fixpunktiteration und Newton-Verfahren 8.3 Interpolation und einfache Quadraturformeln 8.4 Uneigentliche Integrale, T-Funktion 8.5 Bernoulli'sche Polynome und -Zahlen, Euler'sche Summenformel 8.6 Fourierreihen (Einführung in die Theorie) 8.7 Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie

9 Metrische Räume und ihre Topologie 9.1 Grundbegriffe 9.2 Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit 9.3 Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz, stetige Fortsetzbarkeit, Grenzwerte 9.4 Kompaktheit, stetige Funktionen auf kompakten Räumen 9.5 Wege, Zusammenhangsbegriffe 9.6 Der Satz von Stone-Weierstraß

10 Differenzialrechnung in mehreren Variablen 10.1 Partielle Ableitungen 10.2 Höhere partielle Ableitungen, Satz von Schwarz 10.3 (Totale) Differenzierbarkeit, Kettenregel 10.4 Differenzierbarkeit in C, Cauchy-Riemann'sche Differenzialgleichungen 10.5 Lokale Extremwerte, Taylor'sche Formel. 10.6 Der lokale Umkehrsatz 10.7 Der Satz über implizite Funktionen 10.8 Untermannigfaltigkeiten im Rn 10.9 Extrema unter Nebenbedingungen, Lagrange'sche Multiplikatoren

11 Integralrechnung in mehreren Variablen 11.1 Parameterabhängige und n-fache Integrale 11.2 Das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger 11.3 Fortsetzung des Integrals auf halbstetige Funktionen 11.4 Berechnung von Volumina einiger kompakter Mengen 11.5 Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen 11.6 Die Grenzwertsätze von Beppo Levi und Lebesgue 11.7 Nullmengen und fast überall geltende Eigenschaften 11.8 Der Banachraum L1 und der Hilbertraum L2 11.9 Parameterabhängige Integrale, Fouriertransformierte 11.10 Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen 11.11 Integration über Untermannigfaltigkeiten im Rn

12 Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze 12.1 Vektorfelder, Kurvenintegrale, 1-Formen 12.2 Die Integralsätze von Gauß und Stokes

Literaturverzeichnis

Symbolverzeichnis

Namen- und Sachverzeichnis

O autorze

Dr. Rolf Busam ist Co-Autor eines erfolgreichen Lehrbuchs über Funktionentheorie, des Lehrbuchs Grundwissen Mathematikstudium und eines weiteren Prüfungstrainers (über Lineare Algebra).Während seiner langjährigen Lehrtätigkeit als Akademischer Direktor an der Fakultät für Mathematik und Informatik der Universität Heidelberg liegt sein Interessenschwerpunkt in der komplexen Analysis und der Analytischen Zahlentheorie. Ferner ist ihm die Lehreraus- und -weiterbildung ein besonderes Anliegen.

Thomas Epp hat an der HU Berlin Mathematik und Philosophie studiert und arbeitet als Content-Developer für eine Mathematik-Plattform.

Blurb

Dieses Buch wendet sich an Studierende mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, die – insbesondere bei der Prüfungs- oder Klausurvorbereitung – den Wunsch verspüren, als Ergänzung zu den Lehrbüchern den umfangreichen Stoff des Analysisgrundstudiums noch einmal in pointierter Form vorliegen zu haben, zugespitzt auf dasjenige, was man wirklich wissen und beherrschen sollte, um eine Prüfung erfolgreich zu bestehen und exakte Antworten auf mögliche Fragen formulieren zu können.

In einem konzisen Frage-Antworten-Stil werden die zentralen Begriffe und Beweise der Analysis wiederholt. Mehr noch als auf die Rechenfähigkeit (die sicherlich auch notwendig ist und nicht zu kurz kommt) wird dabei Wert auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Konzepte gelegt. Dem Autorenduo – einem Dozenten mit langjähriger Vorlesungs- und Prüfungserfahrung und einem Mathematikabsolventen – ist es sehr gut gelungen, mit der Auswahl der Fragen ein realistisches Bild davon zu vermitteln, was einen Studenten in der mündlichen Prüfung oder einer Klausur typischerweise erwartet.

Durch die Gliederung des Stoffes in einzelne Fragen eignet sich das Buch ausgezeichnet dazu, Wissen stichpunktartig zu trainieren und zu überprüfen; auch höhere Semester können davon profitieren, wenn sie schon einmal Gelerntes noch einmal gezielt nachschlagen wollen. Eine besondere Attraktion stellen die ca. 180 Abbildungen dar, die geometrische Sachverhalte veranschaulichen.

Die 3. Auflage wurde vollständig durchgesehen, didaktisch weiter verbessert und um neue Fragen ergänzt.

Dr. Rolf Busam ist Co-Autor eines erfolgreichen Lehrbuchs über Funktionentheorie, des Lehrbuchs Grundwissen Mathematikstudium und eines weiteren Prüfungstrainers (über Lineare Algebra). Während seiner langjährigen Lehrtätigkeit als Akademischer Direktor an der Fakultät für Mathematik und Informatik der Universität Heidelberg liegt sein Interessenschwerpunkt in der komplexen Analysis und der Analytischen Zahlentheorie. Ferner ist ihm die Lehreraus- und -weiterbildung ein besonderes Anliegen.

Thomas Epp hat an der HU Berlin Mathematik und Philosophie studiert und arbeitet als Content-Developer für eine Mathematik-Plattform.