Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert: Teil I

ISBN-13: 9783540092353 / Niemiecki / Miękka / 1979 / 594 str.

Felix Klein; 1888-1972 Richard Courant;Otto Neugebauer

Spis treści

Erstes Kapitel. Gauß.- Allgemeines.- Angewandte Mathematik.- Astronomie.- Ceres.- Störungstheorie, Pallas.- Allgemeine Resultate.- Geodäsie.- Landesvermessung.- Differentialgeometrie.- Physik.- Allgemeines, Alexander v. Humboldt.- Wilhelm Weber.- Die Elektrodynamik vor Gauß und Weber.- Gauß und Weber.- Erdmagnetismus, Kugelfunktionen.- Potentialtheorie.- Elektrodynamik.- Reine Mathematik.- Biographisches.- Arithmetik, Algebra, Analysis.- Nachlaß, Tagebuch.- Gauß’ Entwicklungsgang.- Sachliche Ausführungen.- Zahlengitter und quadratische Formen.- Elliptische Funktionen usw.- Allgemeine elliptische Funktionen, doppelt periodische Funktionen, Modulfunktion.- ?, ??, g2g3; ?-Funktionen.- Thetafunktionen.- Stufentheorie, Multiplikation und Teilung.- Komplexe Multiplikation.- Modulformen und Modulfunktionen.- Elliptische Integrale und arithmetrisch-geometrisches Mittel.- Kritische Leistungen.- Fundamentalsatz der Algebra.- Grundlagen der Geometrie, nichteuklidische Geometrie.- Allgemeinwürdigung.- Zweites Kapitel Frankreich und die École Polytechnique in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts.- Entstehung und Organisation der Schule.- Mechanik und mathematische Physik.- Allgemeines.- Poisson.- Fourier.- Cauchy.- Biographisches.- Cauchys Werke; Elastizität und Optik.- Sadi Carnot.- Poncelet, Coriolis.- Geometrie.- Monge.- Monges Schule.- Dupin.- Carnot d. Ält.- Poncelet.- Analysis und Algebra.- Cauchy.- Grundlegung der Analysis und Infinitesimalrechnung.- Differentialgleichungen.- Komplexe Funktionen.- Abflauen des mathematischen Lebens in Frankreich.- Galois.- Die Galoissche Theorie.- Drittes Kapitel Die Gründung des Crelleschen Journals und das Aufblühen der reinen Mathematik in Deutschland.- Allerlei Pläne in Berlin; Crelle.- Analytiker des Crelleschen Journals.- Dirichlet.- Zahlentheorie, Analysis.- Mechanik und mathematische Physik.- Abel.- Biographisches und Allgemeines.- Zum Abelschen Theorem.- Wettkampf mit Jacobi.- Jacobi.- Elliptische Funktionen, Thetareihen.- Die Königsberger Schule.- Geometer des Crelleschen Journals.- Gegensatz der Richtungen.- Moebius.- Plücker.- Physik.- Geometrie.- Zum Pascalschen Satz.- Dreieckskoordinaten, beliebiges Raumelement.- Plückersche Formeln.- Steiner.- Projektive Erzeugung.- Isoperimetrisches Problem.- Viertes Kapitel. Die Entwicklung der algebraischen Geometrie über Moebius, Plücker und Steiner hinaus.- Herausarbeitung einer rein projektiven Geometrie.- Staudt.- Definition der allgemeinen projektiven Koordinaten.- Moderne Erweiterung auf das irrationale Gebiet.- Deutung des Imaginären in der projektiven Geometrie.- Beispiel: Die neun Wendepunkte einer ebenen Kurve dritter Ordnung.- Chasles und seine Schule.- Historische Interessen.- Ausbildung der Lehre vom Kugelkreis.- Beispiel: Die konfokalen Flächen zweiten Grades.- Cayley.- Allgemeine projektive Maßbestimmung.- System der Geometrie auf projektiver Grundlage; nichteuklidische Geometrie, Klein; Beltrami, Clifford.- Die parallellaufende Entwicklung der Algebra; die Invariantentheorie..- Anfänge und Hauptlinien der Entwicklung.- Historischer Verlauf.- Jacobi.- Hesse.- Beispiel: Wendepunkte einer ebenen Kurve n-ter Ordnung.- Cayley, Sylvester.- Salmon.- Schlußbemerkungen zur Theorie der Formen.- Interessante Einzelprobleme.- Der Raum von n Dimensionen und die allgemeinen komplexen Zahlen..- Allgemeines, Widerstände und Mißverständnisse.- Spiritisten.- Positive Ausbildung und Anwendung der Theorie; Lagrange, Cauchy, Cayley.- Plücker.- Riemann.- Graßmann.- Die Ausdehnungslehre.- Axiomatisches zur Arithmetik, höhere komplexe Zahlen.- SpezialUntersuchungen.- Pfaffsches Problem.- Lineale Konstruktionen.- Die Graßmannianer.- Hamilton.- Die Quaternionen: Auffassung als Drehstreckung des Raumes.- Kritik; Cayleys Matrixrechnung.- Fünftes Kapitel. Mechanik und mathematische Physik in Deutschland und England bis etwa 1880..- Mechanik..- Exkurs über das klassische System der Mechanik.- Hamiltons Arbeiten zur Optik und Mechanik.- Strahlensysteme.- Konische Refraktion.- Die charakteristische Funktion und das Prinzip der variierenden Wirkung.- Optik.- Geschick der Hamiltonschen Arbeiten auf dem Kontinent.- Kummers Strahlensysteme.- Mechanik, die Hauptfunktion.- Die Hamiltonschen oder kanonischen Differentialgleichungen.- Jacobis Arbeiten zur Mechanik.- Kanonische Variable, Leitfunktion.- Integrationsmethoden der kanonischen Differentialgleichungen.- Rouths Umformungen.- Über englischen Unterrichtsbetrieb.- Zyklische Systeme.- Kinetische Theorie der Materie.- Anhang: Exkurs über die mechanische Wärmetheorie.- Mathematische Physik.- Allgemeines.- Franz Neumann und die Königsberger Schule.- Neumanns Kristallographie, Optik und Elektrodynamik.- Kirchhoffs Spektroskopie, Mechanik und Wärmestrahlungstheorie.- Die Entwicklung in Berlin.- Allgemeines, die Physikalische Gesellschaft.- Helmholtz.- Naturphilosophie, Satz von der Erhaltung der Energie.- Hydrodynamik, Wirbeltheorie.- Öffentliche Stellung.- Die Entwicklung in England.- Green, MacCullagh.- Stokes, W. Thomson.- Methode der elektrischen Bilder und Thermodynamik.- Geophysik und Nautik.- Vortextheorie der Materie.- Anhang: Thomson-Taits’ „Treatise“.- Maxwell.- Die elektromagnetische Lichttheorie.- Beziehungen zur Mechanik, Gibbs.- Zusammenhang mit den Ableitungen MacCullaghs.- Charakterisierung Maxwells.- Schluß.- Sechstes Kapitel. Die allgemeine Funktionentheorie komplexer Veränderlicher bei Riemann und Weierstraß.- Gegenüberstellung.- Bernhard Riemann.- Biographisches, allgemeiner Überblick.- Riemanns Funktionentheorie.- Besondere Arbeiten außerhalb der sonstigen Reihe.- Allgemeine Charakterisierung.- „Analytische Funktion“ bei Riemann.- Die Riemannsche Fläche, insbesondere algebraischer Funktionen 256 Beziehungen zur mathematischen Physik, Existenztheoreme.- Beweismethoden; das Dirichletsche Prinzip.- Das Dirichletsche Prinzip bei Riemann.- Weierstraß’ Kritik und ihre Folgen.- H. A. Schwarz und die Rettung des Dirichletschen Prinzips 265 Klein, Hilbert.- Theorie der linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- Allgemeines, die Monodromiegruppe.- Die hypergeometrische Reihe.- Fuchs.- Das Riemannsche Problem.- Die Verbreitung der Riemannschen Ideen.- Der hyperelliptische und ultraelliptische Fall; Prym.- C. Neumann, Clebsch.- Weitere Verbreitung der Riemannschen Funktionentheorie 273 Herausgabe von Riemanns Werken, H. Weber, Dedekind, Noether, Wirtinger.- Weiterbildung durch Klein und Poincaré.- Schlußbemerkungen.- Karl Weierstraß..- Biographisches.- Weierstraß’ Funktionentheorie.- Anknüpfung an Jacobi und Gudermann.- Die Al- und ?-Funktionen.- Weierstraß’ allgemeines Programm, die Zeit bis 1854.- Berufung nach Berlin; Allgemeines.- Weierstraß’ Vorlesungen, systematischer Aufbau der Theorie.- Allgemeiner Überblick über Weierstraß’ Funktionentheorie.- Theorie der elliptischen Funktionen.- Einordnung in die Stufentheorie.- Historisches; Eisenstein, Gauß.- Verbreitung der Weierstraßschen Theorie.- Lehrbücher: Stolz; Biermann, Forsyth, Harkness-Morley; Schwarz, Halphen, Tannery-Molk.- Frankreich: Hermite.- Abelsche Funktionen.- Weiterbildung der Theorie.- Sonja Kowalevsky.- Siebentes Kapitel. Vertiefte Einsicht in das Wesen der algebraischen Gebilde..- Weiterführung der algebraischen Geometrie..- Impuls durch Riemann.- Clebsch und seine Schule.- Die ebene C3 und das Abelsche Theorem.- Von den birationalen Transformationen der Kurven.- Die beliebige Cn.- Homogene Variable, die C4.- Beliebige Cn.- Clebsch und Gordan, Brill und Noether.- Riemann-Rochscher Satz.- Die Normalkurve der ?.- Weiterentwicklung bei den Abelschen Funktionen.- Algebraische Raumkurven.- Algebraische Flächen.- Von den Kurven auf dem einschaligen Hyperboloid.- Von den algebraischen Zahlen und dem Parallelismus ihrer Theorie mit derjenigen der algebraischen Funktionen..- Die Anfänge der Theorie, Einheiten, ideale Faktoren, Kummer.- Verallgemeinerung bei Kronecker und Dedekind, Ideale.- Analogie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen; Dedekind, Weber, Weierstraß.- Weitere Schicksale der Theorie, Dedekind-Weber.- Hurwitz, Hilbert, Minkowski.- Hilbert, Theorie der algebraischen Formen.- Beispiel: Raumkurve dritter Ordnung.- Hilberts Zahlbericht.- Exkurs über Galoissche Theorie.- Übertragung auf die Zahlkörper.- Schluß, Ausblick auf weitere Aufgaben.- Achtes Kapitel. Gruppentheorie und Funktionentheorie, insbesondere automorphe Funktionen..- Gruppentheorie..- Grundbegriffe.- Geschichtliches, Vertauschungsgruppen und Gleichungstheorie von Lagrange über Galois bis C. Jordan.- Endliche Gruppen linearer Substitutionen, reguläre Körper.- Weiterführung; Anwendung auf die Kristallographie.- Automorphe Funktionen..- Vorbemerkungen.- Zusammenschluß von Gruppentheorie und Funktionentheorie.- Anknüpfung an die Theorie der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- Exkurs über die hypergeometrische Reihe.- Übergang zu den Gruppen linearer Substitutionen.- Konforme Abbildung und Spiegelungsprinzip, Zusammenhang mit den regulären Körpern.- Das Ikosaeder.- Ableitung der Ikosaedergleichung.- Ikosaedergleichung als Normalgleichung.- Die Auflösung der beliebigen Gleichung fünften Grades.- éloge historique über die regulären Körper.- Der Allgemeinbegriff der eindeutigen Dreiecksfunktionen.- Elliptische Modulfunktionen.- Historische Ausführungen.- Gauß, Riemann bis zum Picardschen Satz.- Abel, Jacobi, Hermite.- Die Transformation der elliptischen Funktionen, Galois, Hermite.- Allgemeines Programm.- Die Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe.- Die Hauptkongruenzgruppe siebenter Stufe.- Das Grenzkreistheorem der automorphen Funktionen.- H. Poincaré.- Biographisches.- Poincarés Arbeiten von 1881.- 1882.- Riemann.- Namenverzeichnis.

O autorze

Richard Courant was born in 1888 in a small town of what is now Poland, and died in New Rochelle, N.Y. in 1972. He received his doctorate from the legendary David Hilbert in Göttingen, where later he founded and directed its famed mathematics Institute, a Mecca for mathematicians in the twenties. In 1933 the Nazi government dismissed Courant for being Jewish, and he emigrated to the United States. He found, in New York, what he called "a reservoir of talent" to be tapped. He built, at New York University, a new mathematical Sciences Institute that shares the philosophy of its illustrious predecessor and rivals it in worldwide influence. For Courant mathematics was an adventure, with applications forming a vital part.