Anwendungsorientierte Mathematik: Vorlesungen Und Übungen Für Studierende Der Ingenieur- Und Wirtschaftswissenschaften

ISBN-13: 9783540073192 / Niemiecki / Miękka / 1983 / 484 str.

Gert Bahme

Opis

Das in den ersten beiden Auflagen bewahrte Konzept einer Einfiihrung in die Differen tialrechnung wurde auch in der dritten Auflage beibehalten. Studenten der Ingenieur oder Wirtschaftswissenschaften, aber auch der im Beruf stehende Praktiker, beno tigen eine methodisch orientierte Darstellung, die sich inhaltlich an den Anwendun gen der Mathematik in diesen Bereichen ausrichtet. Das schlieBt theoretische Uber legungen nicht aus, beschrankt diese jedoch auf jenes MaB, das fiir das Verstandnis des Infinitesimalkalkiils unbedingt erforderlich ist. Nach wie vor haben die Studierenden des ersten Semesters enorme Schwierigkeiten beim Ubergang von der Schule zur Hochschule. Hier will dieses Buch eine Briicke schlagen, indem es der eigentlichen Differentialrechnung ein ausfiihrlich gehaltenes Kapitel iiber reelle Funktionen voranstellt. Dabei werden die wichtigsten Klassen ele mentarer Funktionen von den Polynomen bis zu den Hyperbelfunktionen behandelt und die fiir den Anwender interessanten Eigenschaften herausgehoben. Ein weiteres Kapi tel iiber komplexwertige Funktionen eines reellen Parameters fiihrt in die wichtigsten Ortskurven der GauBschen Zahlenebene ein, die vornehmlich in der Regelungstechnik benotigt werden. Wichtigste Erweiterung gegeniiber der zweiten Auflage ist die Erganzung jedes Teil abschnitts urn Ubungsaufgaben. Diese sind nach Anzahl, Umfang und Schwierigkeits grad so bemessen, daB sie vom Leser in einem vertretbaren Zeitraum bearbeitet werden konnen und ihm eine Vorstellung vom Lehrziel des entsprechenden Abschnitts vermitteln. Zur Selbstkontrolle sind die Losungen, in vielen Fallen mit Zwischen ergebnissen und Herleitungen, im Anhang aufgefiihrt."

Spis treści

1. Elementare reelle Funktionen.- 1.1 Grundlagen.- 1.1.1 Der reelle Zahlenkörper.- 1.1.2 Der binomische Satz.- 1.1.3 Ungleichungen.- 1.1.4 Der absolute Betrag.- 1.2 Reelle Funktionen.- 1.2.1 Begriff. Darstellungsformen.- 1.2.2 Symmetrieeigenschaften.- 1.2.3 Kongruente Verschiebung. Affine Stauchung.- 1.2.4 Schranken. Nullstellen.- 1.2.5 Umkehrfunktionen.- 1.3 Polynome.- 1.3.1 Polynombegriff. Polynomwerte. Polynomverknüpfungen.- 1.3.2 Polynomumordnung. Vollständiges Horner-Schema.- 1.3.3 Polynomgleichungen: Lösungen.- 1.3.4 Polynomgleichungen: Lösungsverfahren.- 1.3.5 Interpolationspolynome.- 1.3.6 Stellenwertsysteme.- 1.4 Gebrochen-rationale Funktionen.- 1.4.1 Charakteristische Merkmale.- 1.4.2 Partialbruchzerlegung von Polynombrüchen.- 1.5 Algebraische Funktionen.- 1.6 Kreis- und Bogenfunktionen.- 1.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen.- 1.8 Hyperbell- und Areafunktionen.- 1.9 Funktionspapiere.- 2. Komplexwertige Funktionen.- 2.1 Einführung.- 2.2 Die komplexe Gerade.- 2.3 Die Inversion der Geraden.- 2.4 Der Allgemeine Kreis.- 3. Differentialrechnung.- 3.1 Grenzwerte.- 3.1.1 Konvergente Zahlenfolgen.- 3.1.2 Grenzwerte von Funktionen.- 3.1.3 Stetigkeit von Funktionen.- 3.2 Der Begriff der Ableitungsfunktion.- 3.2.1 Die Ableitungsfunktion als Steigungsfunktion.- 3.2.2 Die Ableitung als Grenzwert,.- 3.2.3 Bestimmung von Ableitungsfunktionen.- 3.3 Formale Ableitungsrechnung.- 3.3.1 Konstanten-, Faktor- und Summenregel.- 3.3.2 Die Potenzregel für ganze positive Exponenten.- 3.3.3 Produkt- und Quotientenregel.- 3.3.4 Ableitungen höherer Ordnung.- 3.3.5 Die Kettenregel.- 3.3.6 Ableitung der Kreisfunktionen.- 3.3.7 Ableitung der Bogenfunktionen.- 3.3.8 Ableitung von Logarithmus- und Exponentialfunktion.- 3.3.9 Logarithmisches Ableiten.- 3.3.10 Ableitung der Hyperbel- und Areafunktionen.- 3.4 Differentiale. Differentialquotienten. Differentialoperatoren.- 3.4.1 Der Begriff des Differentials.- 3.4.2 Rechnen mit Differentialen.- 3.4.3 Der Differentialquotient.- 3.4.4 Differentialoperatoren.- 3.5 Kurvenuntersuchungen.- 3.5.1 Steigen und Fallen. Extrempunkte.- 3.5.2 Links- und Rechtskurven. Wendepunkte.- 3.5.3 Sonstige geometrische Eigenschaften.- 3.5.4 Untersuchung algebraischer Funktionen.- 3.5.5 Untersuchung transzendenter Funktionen.- 3.5.6 Angewandte Maxima- und Minimaaufgaben.- 3.6 Weitere Anwendungen der Differentialrechnung.- 3.6.1 Tangenten und Tangentenabschnitte.- 3.6.2 Linearisierung von Funktionen.- 3.6.3 Der Mittelwertsatz.- 3.6.4 Grenzwertbestimmung mit der Regel von Bernoulli und de l’Hospital.- 3.6.5 Das Newtonsche Iterationsverfahren.- 3.7 Funktionen von zwei reellen Veränderlichen.- 3.7.1 Der Funktionsbegriff.- 3.7.2 Analytische Darstellungsformen.- 3.7.3 Geometrische Darstellungsformen.- 3.7.4 Skalare Darstellung durch Leitertafeln.- 3.7.5 Raumkurven.- 3.7.6 Partielle Ableitungen.- 3.7.7 Das totale (vollständige) Differential.- 3.7.8 Ableitung impliziter Funktionen.- 3.7.9 Ableiten von Parameterdarstellungen.- 3.7.10 Ableiten von Vektorfunktionen.- 3.7.11 Krümmungskreise und Schmiegungsparabeln.- 3.7.12 Ableiten von Funktionen in Polarkoordinaten.- 4. Anhang: Lösungen der Aufgaben.