Vorlesungen über Zahlentheorie

ISBN-13: 9783642886799 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 504 str.

Helmut Hasse

Spis treści

Erster Abschnitt Grundlagen.- § 1. Primzerlegung.- 1. Natürliche, ganze und rationale Zahlen.- 2. Elementare Teilbarkeitslehre.- 3. Die Primzahlen.- 4. Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie.- 5. Ausbau des Fundamentalsatzes.- 6. Irrationalität der n-ten Wurzeln ganzer Zahlen.- § 2. Größter gemeinsamer Teiler.- 1. Kriterium für Teilbarkeit und Primteiler.- 2. Definition des größten gemeinsamen Teilers.- 3. Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.- 4. Rechenregeln für größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame Vielfache.- 5. Teilerfremdheit und paarweise Teilerfremdheit.- 6. Reduzierte Bruchdarstellung, Hauptnennerdarstellung.- 7. Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler.- 8. Beweis des Hauptsatzes als Hauptsatz über Ideale aus ganzen Zahlen.- 9. Der Euklidische Algorithmus.- 10. Anderer Beweis des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie.- § 3. Vollkommene Zahlen, Mersennesche und Fermatsche Primzahlen.- 1. Definition der vollkommenen Zahlen.- 2. Produktformel für die Teilersumme.- 3. Hinreichende Bedingung für gerade vollkommene Zahlen: Satz von Euklid.- 4. Notwendige Bedingung für gerade vollkommene Zahlen: Satz von Euler.- 5. Die Mersenneschen Primzahlen.- 6. Ungerade vollkommene Zahlen.- 7. Die Fermatschen Primzahlen.- 8. Zusammenstellung der noch offenen Fragen.- § 4. Kongruenz, Restklassen.- 1. Definition der Kongruenz und der Restklassen.- 2. Der Restklassenring.- 3. Division im Restklassenring.- 4. Die prime Restklassengruppe.- 5. Der kleine Fermatsche Satz.- 6. Summenformel für die Eulersche Funktion.- 7. Die Möbiusschen Umkehrformeln.- 8. Produktformel für die Eulersche Funktion.- 9. Simultane Kongruenzen, direkte Summenzerlegung des Restklassenrings.- 10. Kongruenz für gebrochene Zahlen.- 11. Der Restklassenkörper nach einer Primzahl.- 12. Additive Darstellung der Restklassen nach einer Primzahlpotenz.- 13. Periodizität der m-adischen Bruchentwicklung für rationale Zahlen.- § 5. Die Struktur der primen Restklassengruppen.- 1. Zurückführung auf Primzahlpotenzen.- 2. Der Fall einer Primzahl.- 3. Zur Bestimmung primitiver Wurzeln, Artinsche Vermutung.- 4. Zyklische Verschiebung der Periode in der m-adischen Bruchentwicklung.- 5. Hilfssätze über Kongruenzen nach einer Primzahlpotenz.- 6. Der Fall einer ungeraden Primzahlpotenz.- 7. Der Fall einer Potenz der Primzahl 2.- Zweiter Abschnitt Quadratische Reste.- § 6. Definition, Reduktion, Kriterien.- 1. Definition der quadratischen Reste.- 2. Reduktion auf Primzahlpotenzmoduln.- 3. Reduktion auf ungerade Primzahlmoduln.- 4. Erstes Kriterium: Legendresches Symbol.- 5. Zweites Kriterium: Eulersches Kriterium.- 6. Drittes Kriterium: Gaußsches Lemma.- § 7. Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Elementarer Beweis.- 1. Grundfrage, Reduktion auf Primzahlen.- 2. Die beiden Ergänzungssätze.- 3. Das allgemeine Reziprozitätsgesetz.- 4. Das Legendresche Symbol als Funktion seines Nenners.- 5. Der Führer des Legendreschen Symbols als Funktion seines Nenners.- § 8. Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Beweis mit Gaußschen Summen.- 1. Einheitswurzeln von Primzahlordnung.- 2. Gaußsche Summen.- 3. Beweis des Reziprozitätsgesetzes.- 4. Unterbauung des Beweises durch Kongruenztheorie im Einheitswurzelbereich.- 5. Beweis des zweiten Ergänzungssatzes.- § 9. Die Jacobische Verallgemeinerung.- 1. Definition des Jacobischen Symbols.- 2. Das Jacobische Symbol als Funktion seines Zählers.- 3. Ergänzungssätze und allgemeines Reziprozitätsgesetz.- 4. Rekursionsverfahren zur Bestimmung des Jacobischen Symbols.- 5. Das Jacobische Symbol als Funktion seines Nenners.- 6. Das Kroneckersche Symbol.- § 10. Verteilungsfragen über quadratische Reste nach einer Primzahl.- 1. Lösungsanzahl quadratischer Kongruenzen.- 2. Sequenzen mit vorgeschriebenen Restcharakteren.- 3. Wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung. Überblick über die Ergebnisse.- 4. Fall der Polynome zweiten Grades.- 5. Anwendung auf zweigliedrige Sequenzen.- 6. Fall eines speziellen Polynoms dritten Grades.- 7. Anwendung auf dreigliedrige Sequenzen.- 8. Zerlegung der Primzahlen p ? 1 mod. 4 in zwei Quadrate.- 9. Analogon für die Primzahlen p ? 1 mod. 3.- Dritter Abschnitt Der Dirichletsche Primzahlsatz.- § 11. Elementare Sonderfälle.- 1. Folgerungen aus der Theorie der quadratischen Reste.- 2. Das Kreisteilungspolynom.- 3. Der Fall der Einsklasse.- 4. Der Fall der negativen Einsklasse.- § 12. Die Methode von Dirichlet.- 1. Der Eulersche Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge.- 2. Der Dirichletsche Beweisansatz für die Moduln 3 und 4.- 3. Der Dirichletsche Beweisansatz für den allgemeinen Fall.- 4. Die Zetareihe und die Dirichletsche Wendung des Eulerschen Beweises.- 5. Einiges über den Primzahlsatz.- §13. Die Charaktere endlicher abelscher Gruppen, Restklassencharaktere.- 1. Definition und Existenz der Charaktere.- 2. Charakterrelationen.- 3. Das Dualitätsprinzip.- 4. Charaktere und Untergruppen.- 5. Restklassencharaktere.- 6. Führer, eigentliche Charaktere.- 7. Gerade und ungerade Charaktere.- § 14. Der Beweis von Dirichlet.- 1. Die L-Reihen.- 2. Isolierung der Primzahlmengen in den einzelnen primen Restklassen.- 3. Grenzverhalten der L-Reihen.- 4. Dirichletsche Dichte und natürliche Dichte.- § 15. Das Nichtverschwinden der L-Reihen.- 1. Produkte aus L-Reihen.- 2. Elementar-analytischer Beweis für nicht-quadratische Charaktere.- 3. Elementar-analytischer Beweis für quadratische Charaktere.- 4. Die funktionentheoretische Beweismethode.- 5. Die algebraisch-zahlentheoretische Beweismethode.- A. Additive Arithmetik.- B. Multiplikative Arithmetik.- a) Einheiten.- b) Primzerlegung.- 6. Elementar-arithmetische Beweise des Dirichletschen Primzahlsatzes.- Vierter Abschnitt Quadratische Zahlkörper.- § 16. Elementare Teilbarkeitslehre.- 1. Algebraische Grundlagen.- 2. Geometrische Veranschaulichung.- 3. Ganze Zahlen, Diskriminante.- 4. Einheiten.- 5. Berechnung der Grundeinheit.- A. Algebraische Grundlagen der Kettenbruchentwicklung.- B. Kettenbruchentwicklung reell-quadratischer Irrationalzahlen.- C. Anwendung auf die Berechnung der Grundeinheit.- D. Kettenbruchentwicklung reiner Quadratwurzeln.- 6. Quadratische Zahlkörper mit eindeutiger Primzahlzerlegung.- § 17. Divisorentheorie.- 1. Struktur des Restklassenrings nach einer Primzahl.- 2. Teilbarkeit und Kongruenz für Primdivisorpotenzen.- 3. Die Hauptsätze der Arithmetik.- 4. Kongruenz, Restklassen, Ideale.- 5. Endlichkeit der Klassenzahl.- § 18. Bestimmung der Klassenzahl.- 1. Die Grenzformel.- 2. Summation der L-Reihen.- 3. Die allgemeine Klassenzahiformel.- a) K reell.- b) K komplex.- 4. Die quadratische Klassenzahiformel.- A. Positivität.- B. Ganzrationalität.- a) Imaginär-quadratische Zahlkörper.- b) Reell-quadratische Zahlkörper.- 5. Rationale Gestalt der Klassenzahlformel für positive Primzahldiskriminanten.- § 19. Quadratische Zahlkörper und quadratisches Reziprozitätsgesetz.- 1. Quadratische Zahlkörper als Klassenkörper.- 2. Ausblick auf die allgemeine Klassenkörpertheorie.- 3. Beweis des Reziprozitätsgesetzes durch Einbettung in Einheitswurzelkörper.- 4. Rein-quadratischer Beweis des Reziprozitätsgesetzes.- § 20. Systematische Theorie der Gaußschen Summen.- 1. Allgemeine Definition, Reduktionen.- 2. Komponentenzerlegung, Betragformel.- 3. Begriffliche Bedeutung der eigentlichen Gaußschen Summen.- 4. Gaußsche Summen und Charaktersummen für einen ungeraden Primzahlmodul.- 5. Vorzeichenbestimmung für quadratische Charaktere.- 6. Die Kummersche Vermutung für kubische Charaktere nach einem Primzahlmodul.- 7. Analoga für bikubische und biquadratische Charaktere.- Namenverzeichnis.