Differentialoperatoren Der Mathematischen Physik: Eine Einführung

ISBN-13: 9783642928857 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 254 str.

G. Hellwig

Spis treści

I. Der Hilbertsche Raum.- 1. Der lineare, metrische und Banachsche Raum.- 1.1 Der lineare Raum.- 1.2 Der metrische Raum.- 1.3 Vollständiger metrischer Raum.- 1.4 Der Banachsche Raum.- 2. Der Hilbertsche Raum ?.- 2.1 Definition des Hilbertschen Raumes.- 2.2 Vollständiger Hilbertscher Raum.- 2.3 Separabler Hilbertscher Raum.- 2.4 Dichte Teilräume.- 3. Orthonormalsysteme in ?.- 3.1 Definition und Besselsche Ungleichung..- 3.2 Vollständige Orthonormalsysteme.- 3.3 Das E. Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.- II. Lineare Operatoren in ?.- 1. Eigenwert und reziproker Operator.- 1.1 Definitionen und Problemstellungen.- 1.2 Der Sturm-Liouvillesche Operator im ?1.- 1.3 Hilfsmittel aus den partiellen Differentialgleichungen.- 1.4 Der Sturm-Liouvillesche Operator im ?n.- 2. Symmetrische und halbbeschränkte Operatoren.- 2.1 Definitionen.- 2.2 Symmetrie und Halbbeschränktheit des Sturm-Liouvilleschen Operators im ?1.- 2.3 Symmetrie und Halbbeschränktheit des Sturm-Liouvilleschen Operators im?n.- 2.4 Ein nicht-halbbeschränkter Sturm-Liouvillescher Operator im ?2.- 3. SchröDinger-Operatoren.- 3.1 Einige Prinzipien der Quantenmechanik.- 3.2 Energie-Operatoren.- 3.3 Symmetrie von SchröDinger-Operatoren.- 3.4 Halbbeschränktheit von SchröDinger-Operatoren.- III. Spektraltheorie vollstetiger Operatoren.- 1. Vollstetige und beschränkte Operatoren..- 1.1 Definitionen.- 1.2 Der Entwicklungssatz für vollstetige, symmetrische Operatoren.- 1.3 Verschärfter Entwicklungssatz.- 1.4 Die Vollstetigkeit von Integraloperatoren.- 1.5 Die Vollstetigkeit von Integraloperatoren (Fortsetzung).- 1.6 Das allgemeine Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem im ?1.- 1.7 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem im ?n.- 2. Anfangs-Randwertprobleme.- 2.1 Das Anfangs-Randwertproblem für Au u(non) = f.- 2.2 Das Anfangs-Randwertproblem für Au + ü = f.- 2.3 Greensche Funktionen bei Anfangs-Randwertproblemen.- 2.4 Existenzsätze für Anfangs-Randwertprobleme.- IV. Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren.- 1. Vorbereitungen.- 1.1 Neufassung des Entwicklungssatzes für vollstetige und symmetrische Operatoren.- 1.2 Projektionsoperatoren.- 2. Selbstadjungierte Operatoren.- 2.1 Definitionen..- 2.2 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren.- 2.3 Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators.- 2.4 Eigenpakete.- 2.5 Zusammenhang zwischen Spektralschar und Eigenpaket.- 3. Wesentlich selbstadjungierte Operatoren.- 3.1 Definitionen.- 3.2 Beispiele.- 3.3 Kriterien für die wesentliche Selbstadjungiertheit.- 3.4 Ein Kriterium für die wesentliche Selbstadjungiertheit von Differential-operatoren.- 3.5 Beweis des Weylschen Lemmas.- 4. Die Selbstadjungiertheit von Differentialoperatoren.- 4.1 SchröDinger-Operatoren mit singulärem Potential.- 4.2 Coulomb-Potentiale mit Wechselwirkung.- 4.3 Halbbeschränkte Differentialoperatoren.- 4.4 Zusammenfassung.- 4.5 Der tiefste Punkt des Spektrums eines halbbeschränkten Operators.- V. Das Weyl-Stonesche Eigenwertproblem.- 1. Die Weylsche Alternative.- 1.1 Vorbereitung.- 1.2 Der 1. Weylsche Satz.- 1.3 Der 2. WeylseheSatz.- 1.4 Die Weylsche Alternative.- 1.5 Ein Kriterium für den Grenzpunktfall bei ? = ?.- 2. Die Selbstadjungiertheit des Weyl-Stokeschen Operators.- 2.1 Der Hauptsatz.- 2.2 Der Sturm-Liotjvillesche Operator im ?1.- 2.3 Der Entwieklungssatz.- 3. Die Relliohschen Randbedingungen für Grenzkreisfall und Stelle der Bestimmtheit.- 3.1 Stelle der Bestimmtheit.- 3.2 Die Relliohschen Anfangszahlen.- 3.3 Anwendungen und Beispiele.- Anhang I.- Anhang II.- Anhang III.- Anhang IV.- Namen- und Sachverzeichnis.