Inhalt Und Mass

ISBN-13: 9783211802670 / Niemiecki / Miękka / 1952 / 272 str.

Karl Mayrhofer

Opis

Die MaBtheorie Car a the 0 do r y' s geht von einem axiomatiseh er klarten auBerell MaB der n-dimensionalen Punktmengen aus und legt dann innerhalb dieser Mengen die meBbaren fest; das auBere MaB einer meBbaren Menge ist ihr MaB. Dane ben tritt die Theorie, welehe den Inhalts-und MaBbegriff als solehen axiomatiseh einfiihrt und ausbaut, ohne ein von vornherein gegebenes auBeres MaB heranzuziehen. Bei beiden Theorien konnen groBe Teile dahin verallgemeinert werden, daB an Stelle der Mengen Somen aus einem Boole'sehen a-Verband treten. Das vorliegende Bueh geht im erst en Kapitel nach der zweiten Methode vor und behandelt im fiinften jenen Teil der Theorie der auBe ren und inneren MaBe, welcher als auBerhalb des erst en Kapitels liegt; insbesondere wird die SteHung der "gewohnlichen" auBeren MaBe inner halb der urspriinglichen Theorie geklart. Die Verallgemeinerung auf Somenfunktionen erfolgt im sechsten Kapitel, das der Hauptsache nach eine in sieh geschlossene Darstellung der Boole'sehen Verbande be inhaltet. Einzelne Fu6noten im ersten Kapitel iiber die formale Her leitung von Mengenrelationen geben unter einem die Schritte an, welche zur Relation mit Somen an Stelle der Mengen fiihren. Diese drei ab strakten Kapitel, die bis an die heutigen Grenzen heranreichen und, wie ich glaube, sie mehrfach iiberschreiten, konnen unabhangig vom iibrigen Teil des Buches gelesen werden; dabei kann man aueh mit dem seehsten Kapitel beginnen. Der Peano-Jordan'sehe Inhalt sowie das Borel'sche und Lebesgue'sehe MaB werden im zweiten und dritten Kapitel vom elementaren Inhalt der Wiirfelaggregate ei.

Spis treści

I. Abstrakte Inhalte und Maße..- § 1. Hilfsmittel aus der Mengenlehre.- 1. Summe, Produkt und Differenz von Mengen.- 2. Rechenregeln für Mengen.- 3. Limesmengen von Mengenfolgen.- 4. ?- und ?- Systeme.- 5. Mengenringe.- 6. Mengenkörper.- 7. ?- und ?-Körper.- § 2. Additive Inhalte.- 8. Inhaltsaxiome.- 9. Folgerungen aus den Inhaltsaxiomen.- 10. Äußerer und innerer Inhalt.- 11. Symmetrie- und Summenformeln.- 12. Relativfunktionen.- § 3. Volladditive Inhalte und Maße.- 13. Definition des volladditiven Inhalts.- 14. Grenzwertsätze für volladditive Inhalte.- 15. Summenformeln. Relativfunktionen.- 16. Maßfunktionen.- 17. Grenzwertsätze für Maße.- 18. Inhalte mit besonderen Eigenschaften.- § 4. Maßgleiche Hüllen und Kerne.- 19. Maßgleiche Hüllen.- 20. Maßgleiche Kerne.- 21. Regeln für maßgleiche Hüllen und Kerne.- 22. Grenzwertsätze für äußere und innere Maße.- 23. Vollzerlegbare Mengen.- § 5. Vollständige Inhalte und Maße.- 24. Vollständigkeit eines Inhaltes.- 25. Vollständigkeit eines Maßes.- 26. Kriterien für die Meßbarkeit.- § 6. Vervollständigung eines Inhaltes und eines Maßes.- 27. Kleinste Vervollständigung eines Inhalts.- 28. Kleinste Vervollständigung eines volladditiven Inhalts.- 29. Kleinste Vervollständigung eines Maßes.- § 7. Erweiterung eines volladditiven Inhaltes zu einem Maße.- 30. Die f?-Erweiterung eines volladditiven Inhaltes.- 31. Der ?-Körper N.- 32. Kleinstes vollständiges Maß über einem volladditiven Inhalt.- 33. Kleinstes Maß über einem volladditiven Inhalt.- 34. Darstellung von $$\bar l, \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}} $$ und Vergleich mit $$\bar i, \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}} $$.- 35. Hüllen und Kerne aus f?? bzw. f??.- § 8. Kriterien für die j-Meßbarkeit.- 36. Hüllen und Kerne aus f? bzw. f?.- 37. j-Meßbarkeit.- § 9. Inhalt und Maß in Produkträumen.- 38. Additive Produktinhalte.- 39. Volladditive Produktinhalte.- 40. Vollständige Inhalte und Maße in Produkträumen.- 41. Mehrfache Produktinhalte.- II. Der Jordan’sche Inhalt..- § 10. Der elementare Inhalt der Würfelaggregate.- 42. Basis und ihre Erweiterung zum Körper.- 43. Elementarer Inhalt der Würfelaggregate.- § 11. Der n-dimensionale Jordan’sche Inhalt.- 44. Erklärung des Jordan’ schen Inhaltes.- 45. Intervalle.- 46. Jordan’scher äußerer und innerer Inhalt.- 47. Darstellungen von $$\bar j$$ und $$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}} $$.- 48. Unabhängigkeit des Inhalts von der Grundfolge.- 49. Kriterien für die Quadrierbarkeit.- 50. Einfachste Inhaltstransformationen.- 51. Jordan’scher Inhalt in Produkträumen.- § 12. Überdeckende Zellensysteme.- 52. Grenzwertsätze für $$\bar j$$ und $$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}} $$.- 53. Überdeckende Zellensysteme.- 54. Weitere Erklärungen des Jordan’schen Inhaltes.- § 13. Inhalt spezieller Gebilde.- 55. Hyperflächen.- 56. Gerade Zylinder.- 57. Kugeln.- 58. Diskontinuen.- 59. Jordan’sche Kurven.- 60. Rektifizierbare Kurven.- III. Das Borel’sche und das Lebesgue’sche Maß..- § 14. Das Borel’sche Maß.- 61. Borel’sche Mengen des En.- 62. Borel’sches Maß.- § 15. Das Lebesgue’sche Maß.- 63. Erklärung des Lebesgue’schen Maßes.- 64. Lebesgue’sches äußeres und inneres Maß.- 65. Darstellungen von $$\bar l$$ und $$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}} $$.- 66. Kriterien für die Meßbarkeit nach Lebesgue.- 67. Zusammenhang von Jordan’schem Inhalt und Lebesgue’schem Maß.- 68. Vollzerlegbarkeit.- 69. Einfachste Maßtransformationen.- 70. Lebesgue’sches Maß in Produkträumen.- 71. Weitere Erklärungen des Lebesgue’schen Maßes.- 72. Gerade Zylinder.- § 16. Nicht nach Lebesgue meßbare Mengen.- 73. Existenz nicht l-meßbarer Mengen.- 74. Nicht l-meßbare Teile n-dimensionaler Punktmengen.- § 17. Der Überdeckungssatz von Vitali.- 75. Vitali-Überdeckungen.- 76. Reguläre Überdeckungen.- § 18. Dichte einer Punktmenge.- 77. Erklärung der Dichte.- 78. Der Dichtesatz.- 79. Reguläre Vergleichssysteme.- 80. Dichte im starken Sinne.- IV. Transformation von Inhalt und Maß..- § 19. Lineare Transformationen.- 81. Zusammensetzung homogener linearer Transformationen aus primitiven.- 82. Orthogonale und kongruente Transformationen.- § 20. Transformation von Inhalt und Maß.- 83. Inhalt und Maß bei einer primitiven Transformation.- 84. Inhalt und Maß bei einer linearen Transformation.- 85. Meßbare Abbildungen.- § 21. Inhalt und Maß elementarer Gebilde.- 86. Zylinder.- 87. Parallelotope.- 88. Kegel.- 89. Simplexe.- 90. Ellipsoide.- V. Theorie der äußeren Maße..- § 22. Äußere und innere Maße.- 91. Allgemeine äußere Maße.- 92. Gewöhnliche äußere Maße.- 93. Innere Maße.- 94. Äußere Maße in metrischen Räumen.- § 23. Die Außenfunktion der f?-Erweiterung eines volladditiven Inhaltes als äußeres Maß.- 95. Das zu einem volladditiven Inhalt gehörige äußere Maß.- 96. Erweiterung eines volladditiven Inhalts zu einem vollständigen Maß.- VI. Verbände und Somenfunktionen..- § 24. Boole’sche Verbände.- 97. Teilweise geordnete Mengen.- 98. Boole’sche Verbände.- 99. Boole’sche ?-Verbände.- 100. Rechenregeln für Somen.- 101. Geschlossene Boole’sche Verbände.- 102. Somenfolgen.- 103. Erweiterung von Boole’schen Verbänden.- 104. Somensysteme.- 105. Boole’sche Algebren.- § 25. Isomorphieen und Homomorphieen.- 106. Isomorphe Boole’sche Verbände.- 107. Homomorphe Boole’sche Verbände.- 108. Konstruktion der Homomorphieen eines Boole’schen Verbandes.- § 26. Somenfunktionen.- 109. Inhalte und Maße als Somenfunktionen.- 110. Inhalts- und Maßreduktion.- 111. Reduktion eines äußeren Maßes.- Anhang. Borel’sche Mengen.- 1. Die Borel’schen Mengen über einem Mengensystem.- 2. Erweiterung eines Mengensystems zum kleinsten ?-Körper.- 3. Die Borel’schen Mengen Euklid’scher Räume.- 4. Quadrierbare, nicht nach Borel meßbare Mengen.- Namenverzeichnis.